Giải Toán 9: Bài 3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

§3. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN
VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
A. KIẾN THỨC Cơ BÀN
Khai phương một tích
Định lí: Nếu a > 0 và b > 0 thì 7ab = Tã.Tb •
Qiíi tắc: Muôn khai phương một tích của các sô không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau.
Nhân các căn thức bậc hai
Qui tắc: Muốn nhân các căn bậc hai của các sô không âm, ta có thê nhân các sô dưới dấu căn với nhau rồi lấy căn bậc hai của kết quả đó.
Tã.Tb = Tãĩb (a > 0, b > 0)
Chú ý:
Định lí và các qui tắc trên cũng đúng khi thay các sô không âm bới các biểu thức có giá trị không âm.
7Ã.Ẽ = TÃ.TẼ ; 7Ã.7Ẽ = 7Ă3 (A > 0; B > 0)
B. HƯỚNG DẦN GIÃI BÀI TẬP
Bài tập mẫu
Tính:	a) 79.64.0,25	b) Ợ34.(-2)2
72.718	d) 7252 - 242
Giải
79.64.0,25 = 79.764.70?25 = 3.8.0,5 = 12
7sí(-2)2 = 4¥.yJ(-2)2 = 9.2 = 18
72.718 = 7238 = 736 = 6
7252 - 24- = 7(25-241(25 + 24) = 7h49 = 749 = 7
Rút gọn các biểu thức (a, b không âm):
a) 7õ - 2 Tẽ	b) 7l2a:i.73a	■ c) 732a.2ab2
Giải
a) ^5-276 = 73 - 273.72 + 2 = VỠT- 72?
= 173 - 721 = 73 - 72
7l2a3.737 = 7l2a3.3a = 736a4 = 7(6a2)2 = 6a2
732a.2ab2 = 764a'1 b2 = 7(8ab)2 - |8ab| = 8ạb
2. Bài tập cơ bản
17. Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính: a) 70, 09?64
c) 712,1.360
b) 724.(-7)2 d) 722.34
18. Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai, hãy tính:
a) 77.763 c) Tm.Tm
19. Rút gọn các biểu thức sau: a) 7o, 36a2 với a < 0
b) 7275-730.748 d) 72/7.75.^75
b) 7a4(3-a)2 với a > 3
d)
c) 727.48(1 - a)2 với a > 1
Rút gọn các biểu thức sau:
[2a [3a
với a > 0
c) 75a.745a - 3a với a > 0
Khai phương tích 12.30.40 được:
A.1200	B.120
Hãy chọn kết quả đúng.
'	 2_. Giải
a)ựo, 09.64 = 7o, 09.764 = 0,3.8 = 2,4
724.(-7)2 = 716.49 = 716.749 = 4.7 = 28
712,1.360 = 7121.36 = 7Ĩ2Ĩ.736 = 11.6 = 66
722.34 = TF.TF =: 2.32 = 18	
a) 77.763 = 77Ĩ63 = 77.7.9 = 7(7.3)2 = 21
7275.730.748 = 72,5.30.48 =725.3.48
= 725.144 = 7(5.12)2 = 60	
0 7074.7074 = 70,4.6,4 = 70,04.64 = 7(0,2.8)2 = 1,6
-7a4(a - b)2 với a > b
77“ 52
b) yl3a..— với a > 0 V a	
d) (3 - a)2 - 702.7l80a2
c. 12
D. 240
d) 7277.75.7175 = 72,7771,5 = 79.0,3.5.5.0,3 = 7(3.0,3.5)2 = 4,5 19. a) 7o, 36a2 = 70,36.Tã* = 0,6. |a| = -0,6a (vì a < 0)
7a4(3-a)2 = Tã7.7(3 - a)2 =
(vì a > 3 => a - 3 > 0)
727.48(1 - a)2 = 79.3.3.16(1 - a)2 = 7(9.4)2.7(1 - a) = 36|1 - aị = 36(a - 1) (vì a > 1 => a
1	91 -b|=	1
a2.|3
a| = a (a - 3)
d)
-7a4(a - b)2 =
- .a2 |a
a - b	a - b
(vì a > b > 0 nên a - b > 0)
a - 1 > 0) ,a2(a-b) = a2
20. a) Với a > 0 thì
.	,	..X 3a
I thì J— va — được xác định
Vo Vo 	
f3a” _ /2a 3a	ia^ a a
y vT - nT'T vT = 2 = 2 (vi a - BÀI TẬP TƯƠNG Tự
 Tính:	a) 725.36	b) 712,1.360
 c) 728,9.490	d) 734.(-8)2
 Rút gọn: a) 79(a - 5)2 với a > 5
 74(2 - a)2 với a < 2
 7a2(a -l)2 với a < 0
 LUYỆN TẬP
 Biến đổi các biểu thức dưới dấu căn thành dạng tích rồi tính:
 a) 7l32 - 122	b) 7l72 - 82
 c) 7ll72 -1082	d) 73132 -3122
 Chứng minh:
 (2 - 73X2 + 73) = 1
 (72006 - 72005) và (72006 + 72005) là hai sô nghịch đảo của nhau.
 Rút gọn và tìm giá trị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) của các căn thức sau:
	/52
thì 7l3a và ./— được xác định.
Va'
13a.. — = .13a.— = 713.13.4 = V(13.2)2 = 26 V a	 V a
Ta có 7õa và 745a có nghĩa khi a > 0. Do đó Với a > 0 thì các căn thức đã cho có nghĩa. Ta có:
7õã.745a - 3a = 7õa.45a - 3a - 7(5.5.9.a)2 - 3a
= 15a - 3a - 12a
Ta có 7l80a2 xác định với mọi a.
Do đó:	(3 - a)2 - 7072.7l80a2 = (3 - a)2 - 7o, 2.180a2
= 9 - 6a + a2 - 736a2 = 9 - 6a + a2 - |6a|
Với a > 0 ta được:
(3 - a)2 - ỰÕ?2.7l80a2 = 9 - 6a + a2 - 6a = 9 - 12a + a2
Với a < 0 ta được:
(3 - a)2 - 7Õ?2.7l80a2 = 9 - 6a + a2 + 6a = 9 + a2
Ta có 7l2.30.40 = 736.400 = ự(6.20)2 = 120
Vậy chọn B.
74(1 + 6x~+ 9x2)2 tại X = -72
7ỡa2(b2 + 4 - 4b) tại a = -2, b = -73
Tìm X, biết:
7l6x = 8	b) 74x = 75
70(x - h) =21	_ d) 74(1 - x)2 -6 = 0
a) So sánh 725 + 9 và 725 + 79
Với a > 0 và b > 0, chứng minh 7a + b < Ta + 7b
So sánh:
4 và 273	b) -7õ và - 2
Giải
a) 7l32 - 122 = 7(13-12X13 + 12) = 7t25 = 5
7l72 - 87 = 7(17 -8X17 + 8) = 70.725 = 3.5 = 15
7ll72 -1082- = 7(117-108X117 + 108) = 79.225
	= 79.7225 = 3.15 = 45
■ d) 73132 - 3122 = 7(313 - 312X 313 + 312) = 7l.625 = 7"252 = 25
a) VT = (2 - 73 X2 + 71) = 22 - (73 )2 = 4 - 3 = 1 = VP
Vậy (2-73X2 + 73) = 1 b) (72006 - 72005).(72006 + 72005)
= (72006 )2 - (72005 )2 = 2006 - 2005 = 1 Vậy 72006 - 72005 và 72006 + 72005 là hai số nghịch đảo nhau.
a) 74(1 + 6x + 9x2 )2 = 74[1 + 2.3x + (3x)2]2
= 7 0)
Thay X = -72 vào ta được:
2[1 + 34-72)]2 =2(1- 3T2)2
= 2(1 - 672 + 32.2) = 2 - 1272 + 36 = 38 - 1272 = 38.12.1,414 = 38 - 16,968 = 21,032
b) 7Õa2(b2 + 4 - 4b) = 79a2(b2 - 2.2.b + 22) = 79a2(b - 2)2
= 3a| ,|b - 2|	.	•
Thay a = -2, b = -73 , ta được:
|3(-2)| j-TI - 2I = 6(73 + 2) = 6(1,732 + 2) = 6.3,732 = 22,392
a) v'16x = 8 16x = 82 16x = 64 X = 4
Cách khác: 7l6x = 8 Tĩõ.Tx = 8 47x = 87x = 2x = 4
74x = 75 4x = 5 X = -- X = 1,25
4
79(x - 1) = 21 79.7x - 1 = 21 37x^1’ = 21
 7x -1 = 7 o x-1 = 49 o X = 50
Cách khác: 7ỡ(x-l) = 21 o 9(x - 1) = 212
 9(x - 1) = 441 x-l = 9x = 50
ự4(l - x)2 - 6 = 0 o ^4(1 - x)2 = 6 2|l - x| = 6
• Khi 1 - X >	 x < 1
Ta CÓ 2|1 - x| = 6 2(1 - x) = 6 o 2(1 - x) = 6
 -2x = 4 X = -2 (nhận)
• Khi 1-XX<1
Ta CÓ 2|1 - x| = 6 2[-(l ~ x)] = 6
x-l = 3x = 4 (nhận)
Vậy phương trình có hai nghiệm X = -2; X = 4.
a) Ta có 725 + 9 = 734 < 736 = 6
725 + 79 =5 + 3 = 8
Vậy 725 + 9 < 725 + 79
b) Với a>0, b>0thìa + b>0 nên các căn thức 7a + b, Tã, 7b đều có nghĩa. Để chứng minh 7a + b < ýa + 7b ta qui về chứpg minh a + b < (Tã + 7b)2. Thật vậy, ta có (Tã + 7b)2 = (Tã)2 + 27a.7b + (7b)2
= a + b + 2 Tab > a + b
Vậy 7a + b < Tã + 7b
a) Ta có: 2 = 7Ĩ > 73 nên 2.2 > 2.73
Vậy: 4 > 2V3
b) Ta có: 7õ > 7Ĩ = 2 nên 75 > 2 Vậy -75 <-2